微分方程式-01

微分方程式について，まとめてみました．

・\( \Large \frac{dx}{dt} = -kx+ke^{-kt} \)

\( \Large \frac{dx}{dt} +kx = ke^{-kt} \)

両辺を，\( \Large e^{-kt} \)，で割って，

\( \Large e^{kt}\frac{dx}{dt} +kx e^{kt}= k \)

\( \Large k e^{kt}= \frac{d}{dt} e^{kt} \)なので，

\( \Large e^{kt}\frac{dx}{dt} + x \frac{d}{dt} e^{kt}= k \)

\( \Large \frac{d}{dt} (fg)= \frac{df}{dt}g + f \frac{dg}{dt} \)から，

\( \Large \frac{d}{dt} \left( xe^{kt} \right) = k \)

\( \Large xe^{kt} = kt +C \)

\( \Large x = e^{-kt} \left( kt +C \right) \)

・\( \Large \frac{dx}{dt} = -kx+a t^me^{-kt} \)

\( \Large \frac{dx}{dt} +kx = a t^m e^{-kt} \)

両辺を，\( \Large e^{-kt} \)，で割って，

\( \Large e^{kt}\frac{dx}{dt} +kx e^{kt}= a t^m \)

\( \Large k e^{kt}= \frac{d}{dt} e^{kt} \)なので，

\( \Large e^{kt}\frac{dx}{dt} + x \frac{d}{dt} e^{kt}= a t^m \)

\( \Large \frac{d}{dt} (fg)= \frac{df}{dt}g + f \frac{dg}{dt} \)から，

\( \Large \frac{d}{dt} \left( xe^{kt} \right) = a t^m \)

\( \Large xe^{kt} = \frac{1}{m+1}at^{m+1} +C \)

\( \Large x = e^{-kt} \left( \frac{1}{m+1}at^{m+1} +C \right) \)